miércoles, 14 de julio de 2010

La competencia matemática en PISA 2006

DEFINICIÓN DEL ÁREA DE EVALUACIÓN
El área de definido por PISA hace referencia a la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas situaciones. En lugar de limitarse al tipo de situaciones y problemas que suelen encontrarse en las aulas, la evaluación PISA se centra en los problemas del mundo real. En un entorno real, los ciudadanos han de hacer frente a una serie de situaciones al ir de compras, viajar, cocinar, ocuparse de su economía doméstica, valorar cuestiones políticas, etc., en las que el empleo de un razonamiento cuantitativo o espacial, u otras capacidades matemáticas, contribuirá a aclarar, formular o resolver los problemas que se les planteen. Estos usos de las matemáticas se basan en las habilidades que se han aprendido y practicado mediante el tipo de problemas que suelen presentarse en los libros de texto y en las aulas. Sin embargo, exigen asimismo la capacidad de aplicar esas habilidades a unos contextos menos estructurados, que carecen de instrucciones precisas y en los que el alumno debe decidir cuál será el conocimiento más adecuado al caso y cuál será la forma más útil de aplicarlo. El concepto de competencia matemática de PISA pretende evaluar en qué medida los alumnos de 15 años pueden ser considerados unos ciudadanos reflexivos e informados y unos consumidores inteligentes. Cada vez es más normal que los ciudadanos de cualquier país se vean enfrentados a una multiplicidad de tareas que entrañan conceptos matemáticos de carácter cuantitativo, espacial, probabilístico o de algún otro tipo. Los medios de comunicación (periódicos, revistas, televisión e Internet) están repletos de información en forma de tablas, diagramas o gráficos, donde se tratan temas como el clima, la economía, la medicina o los deportes, por mencionar tan solo unos pocos ejemplos. Los ciudadanos se ven sometidos a un bombardeo informativo sobre temas como «el calentamiento global y el efecto invernadero», «el crecimiento demográfico», «los vertidos de petróleo en los mares», «la desaparición de espacios naturales». Por último, sin ser por ello menos importante, los ciudadanos se ven en la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenes y autobuses, llevar a cabo transacciones monetarias de forma satisfactoria, decidir cuál es la mejor compra en el mercado, etc. de PISA se centra en la capacidad de los alumnos de 15 años (una edad en la que muchos de ellos están a punto de completar el ciclo de formación obligatoria en matemáticas) para dotar de sentido estas cuestiones y llevar a cabo las tareas que requieren, recurriendo a sus conocimientos y su comprensión de las matemáticas. PISA define así : Competencia matemática es una capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos. Una serie de comentarios explicativos adicionales contribuirán a clarificar la definición del área de evaluación.


la competencia maemática


• El término «competencia matemática» se ha elegido con el fin de hacer hincapié en el carácter funcional del conocimiento matemático y en la posibilidad de aplicarlo de forma variada, reflexiva y perspicaz a una multiplicidad de situaciones de los más diversos tipos. Para que dicho uso sea posible y viable se requiere un considerable volumen de conocimientos y habilidades matemáticas fundamentales y, como es natural, dichas habilidades forman parte de nuestra definición de competencia. En el ámbito lingüístico, la competencia presupone, sin reducirse a ello, la posesión de un vocabulario rico y un conocimiento sustancial de las reglas gramaticales, la fonética, la ortografía, etc. Cuando una persona quiere comunicarse recurre a estos elementos de forma creativa con objeto de dar respuesta a las situaciones que se encuentran en el mundo real. Aunque presupone sin duda ese tipo de conocimientos, tampoco puede reducirse al dominio de la terminología, los datos y los procesos de las matemáticas ni a la habilidad para realizar ciertas operaciones y poner en práctica determinados métodos. supone una combinación creativa de estos elementos con objeto de responder a las exigencias que plantean las situaciones externas. • El término «mundo» hace referencia al marco natural, social y cultural en que vive el individuo. Como señaló Freudenthal (1983): «Los conceptos, las estructuras y las nociones matemáticas de que nos servimos se han concebido como herramientas que nos permitan organizar los fenómenos del mundo físico, social y mental» (p. ix). • La expresión «utilizar y relacionarse con» comprende tanto el uso de las matemáticas como la solución de problemas matemáticos, pero comporta asimismo un grado de implicación personal más amplio que englobaría nociones como la comunicación, la sintonía, la valoración e incluso la apreciación y el disfrute de las matemáticas. Así pues, la definición de competencia matemática engloba, por un lado, el uso funcional de las matemáticas en su sentido más restringido y, por otro, la disposición para profundizar en su estudio, así como sus aspectos estéticos y recreativos. • La expresión «la vida de los individuos» incluye la vida privada de las personas, pero también su vida profesional, social (grupos de compañeros y familiares) y su vida como ciudadanos de una determinada comunidad. Una de las capacidades esenciales que comporta el concepto de competencia matemática es la habilidad de plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemáticas en una variedad de situaciones o contextos. La gama de contextos abarca desde los puramente matemáticos hasta aquellos otros que, en principio, no presentan o aparentan poseer una estructura matemática: es tarea de quien plantea o trata de solucionar el problema introducir de forma satisfactoria la estructura matemática. Conviene poner de relieve, asimismo, que la definición no se circunscribe a un conocimiento básico de las matemáticas, sino que incluye el empleo y el uso de las matemáticas en unas situaciones que van desde lo cotidiano a lo excepcional, desde lo sencillo a lo complejo. Las actitudes y los sentimientos que suscitan las matemáticas, como la seguridad en uno mismo, la curiosidad, los sentimientos de interés y relevancia o el deseo de hacer o comprender ciertas cosas, no forman parte de la definición de competencia matemática, aunque ciertamente contribuyen a ella de una forma nada desdeñable. En teoría se puede ser competente en matemáticas sin poseer esas actitudes y sentimientos, pero en la práctica es poco probable que dicha competencia se ejerza o se ponga en práctica si el individuo no posee un cierto grado de seguridad en sí mismo, curiosidad, sentimientos de interés y relevancia o el deseo de realizar y comprender temas de contenido matemático. Aunque estas actitudes y sentimientos no formen parte de la evaluación de , PISA reconoce la importancia que tienen como correlato de y, en consecuencia, se abordarán en una parte del estudio

PISA. BASE TEÓRICA DEL MARCO PISA DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
La definición que hace PISA de concuerda con las teorías más amplias e integradoras sobre la estructura y el uso del lenguaje, según han sido recogidas en los más recientes estudios sobre la competencia sociocultural. En la obra de James Gee, Preamble to a Literacy Program (1998) {Preámbulo a un programa centrado en la competencia}, el término «competencia» hace referencia al uso que hacen las personas del lenguaje. La facultad de leer, escribir, entender y hablar una lengua es la herramienta de mediación más importante de la que disponen los seres humanos para interrelacionarse socialmente. De hecho, cualquier lengua y cualquier uso del lenguaje posee una estructura enormemente intrincada que se engarza de formas muy complejas con una gran diversidad de funciones. Afirmar que alguien está dotado de competencia lingüística equivale a decir que esa persona conoce muchos de los recursos estructurales de una determinada lengua y que es capaz de aplicar esos recursos a una gran variedad de funciones sociales. De forma análoga, considerar las matemáticas como un lenguaje implica que los alumnos deben conocer los rasgos estructurales presentes en el discurso matemático (los términos, hechos, signos, símbolos, procedimientos y habilidades que se han de emplear para ejecutar ciertas operaciones en unos subdominios matemáticos específicos, así como la estructura de esas ideas en cada uno de los subdominios), y aprender a utilizar esos conceptos para resolver problemas no rutinarios en una variedad de contextos definidos según sus funciones sociales. Nótese que el conocimiento de los rasgos estructurales de las matemáticas implica conocer los términos, procedimientos y conceptos básicos que suelen enseñarse en los centros escolares, pero también saber cómo se estructuran y se utilizan. Desafortunadamente, se puede saber mucho sobre los rasgos estructurales de las matemáticas sin que ello suponga que se posee un verdadero conocimiento de la estructura de las matemáticas o que se saben utilizar esos rasgos para resolver problemas. Estos conceptos sobre la interacción entre los rasgos estructurales y las funciones constituyen la base sobre la que se asienta el marco de evaluación del área de matemáticas de PISA y pueden ilustrarse a través del siguiente ejemplo. Ejemplo 1 de Matemáticas: FRECUENCIA CARDÍACA
Por motivos de salud se recomienda que, al realizar un esfuerzo, la práctica de un deporte, por ejemplo, no se exceda de una determinada frecuencia cardíaca. Durante muchos años, la relación entre la máxima frecuencia cardíaca recomendada y la edad del individuo se describió mediante la siguiente fórmula: Máxima frecuencia cardíaca recomendada = 220 – edad Las últimas investigaciones, sin embargo, indican que esta fórmula debe ser modificada ligeramente. La nueva fórmula es la siguiente: Máxima frecuencia cardíaca recomendada = 208 – (0,7 x edad)

Las preguntas de esta unidad giran en torno a la diferencia entre las dos fórmulas y el modo en que estas afectan al cálculo de la máxima frecuencia cardíaca recomendada. Este problema puede solucionarse siguiendo la estrategia que suelen emplear los matemáticos, que en este marco se denominará matematización. La matematización se puede caracterizar atendiendo a cinco aspectos esenciales:

• En el primer paso, el proceso matematizador o de matematización se inicia con un problema presente en la realidad. Como deja claro el ejemplo, en este caso la realidad es la salud y la buena forma física. Una de las reglas básicas a la hora de hacer ejercicio es que se debe realizar con cuidado y sin forzarse, pues un esfuerzo excesivo puede causar problemas de salud. La pregunta nos alerta sobre este tema estableciendo un nexo entre la salud y la frecuencia cardíaca y mediante la mención a la existencia de una «máxima frecuencia cardíaca recomendada». al caso y reorganiza el problema según los conceptos matemáticos que han sido identificados. Está claro que el alumno tiene ante sí dos fórmulas lingüísticas que deben ser comprendidas y que se pide que compare las dos fórmulas y trate de establecer cuál es su significado en términos matemáticos. Las fórmulas establecen una relación entre la máxima frecuencia cardíaca aconsejable y la edad de una persona.

• El tercer paso implica una progresiva abstracción de la realidad.
Existen diferentes modos de abstraer la realidad, esto es, de formular el problema en términos estrictamente matemáticos. Uno de ellos consiste en traducir las fórmulas lingüísticas a una expresión algebraica más formalizada, como: y = 220 – x o y = 208 – 0,7x. Evidentemente, el alumno no debe olvidar que y representa la máxima frecuencia cardíaca, expresada en latidos por minuto, y que x representa la edad, expresada en años. Otra forma de acceder a un universo estrictamente matemático consistiría en dibujar directamente los gráficos partiendo de las fórmulas lingüísticas. Al tratarse de fórmulas de primer grado, los gráficos resultantes representarían dos líneas rectas. Como los gráficos tienen pendientes distintas, las dos líneas se intersecarían. Estos tres pasos nos llevan desde el problema del mundo real al problema matemático.

• El cuarto paso consiste en resolver el problema matemático.
Para resolver el problema matemático que se tiene entre manos se han de comparar dos fórmulas o dos gráficos y sacar una conclusión sobre las diferencias que suponen para las personas de una determinada edad. Una buena manera de empezar sería determinar en qué caso las dos fórmulas dan el mismo resultado, o bien en qué caso los dos gráficos se intersecan. Para ello el alumno ha de resolver la siguiente ecuación: 220 – x = 208 – 0,7x. Esto nos da x = 40, mientras que el valor correspondiente de y sería 180. Por tanto, los dos gráficos se intersecan en el punto (40, 180). Ese mismo punto se puede localizar también en el gráfico que figura más abajo. Como la pendiente de la primera fórmula es – 1, y la de la segunda, – 0,7, el alumno sabe que la pendiente del

• En el segundo paso, la persona que desea resolver el problema trata de identificar las matemáticas pertinentes segundo gráfico es menos pronunciada que la del primero. O que el gráfico de y = 220 – x se sitúa por encima del gráfico de y = 208 – 0,7x para los valores de x inferiores a 40, y por debajo para los valores de x superiores a 40.

• El quinto paso supone responder a la pregunta: qué significado adquiere la solución estrictamente matemática al transponerla al mundo real. El significado no resulta demasiado difícil de hallar si el alumno se da cuenta de que x es la edad de una persona, mientras que y es la máxima frecuencia cardíaca. Si se tienen 40 años, ambas fórmulas dan el mismo resultado: una frecuencia cardíaca máxima de valor 180. La fórmula «antigua» permite una frecuencia cardíaca más alta para los jóvenes: utilizando un ejemplo extremo, si la edad es cero, la fórmula antigua dará un máximo de 220 y la nueva un máximo de 208. En cambio, para la gente mayor, que en este caso son los que tienen más de 40 años, la nueva fórmula permite una frecuencia cardíaca máxima de un valor más alto. Recurriendo una vez más a un ejemplo extremo, para una edad de 100 años el alumno verá que con la fórmula antigua el máximo era 120, mientras que con la nueva es 138. Es importante, sin embargo, tener en cuenta una cuestión: las fórmulas empleadas carecen de precisión matemática y producen la impresión de tener un carácter seudocientífico. De hecho, estas fórmulas simplemente proporcionan una regla de andar por casa que ha de aplicarse con precaución, una cautela que ha de extremarse aún más en las edades límite. En todo caso, lo que este ejemplo demuestra es que incluso un ejercicio relativamente sencillo, es decir, un ejercicio sometido a las restricciones que impone un estudio internacional a gran escala que ha de realizarse en poco tiempo, permite identificar el ciclo completo de la matematización y la solución de problemas. Estos procesos caracterizan, en un sentido amplio, la forma en que los matemáticos suelen hacer matemáticas, el modo en que la gente emplea las matemáticas en gran cantidad de situaciones reales o hipotéticas y la forma en que un ciudadano reflexivo y bien informado debe utilizar las matemáticas para participar de forma plena y competente en el mundo real. De hecho, aprender a matematizar debería constituir uno de los objetivos educativos prioritarios para todos los alumnos. En la actualidad, y es de prever que seguirá siendo así en el futuro, todo país necesita contar con unos ciudadanos dotados de un nivel de competencia matemática que les permita afrontar los retos que plantea una sociedad compleja y en perpetuo cambio. La información disponible ha crecido de forma exponencial y los ciudadanos tienen que ser capaces de decidir cómo se debe manejar esa información. En los debates sociales, cada vez se recurre más al uso de información cuantitativa para respaldar determinadas afirmaciones. Un ejemplo de lo necesaria que es lo tenemos en la frecuencia con que se pide a las personas que expresen sus opiniones y evalúen la fiabilidad de las conclusiones y las afirmaciones que aparecen en encuestas y estudios. Ser capaz de emitir un juicio sobre la solidez de las afirmaciones que se derivan de tales argumentaciones es, y cada vez lo será más, uno de los rasgos definitorios del ciudadano responsable. Los pasos del proceso de matematización que se exponen en este marco de la evaluación constituyen los elementos fundamentales a la hora de aplicar las matemáticas a este tipo de situaciones complejas. La incapacidad de utilizar conceptos matemáticos puede llevar a la adopción de decisiones confusas a nivel personal, a un incremento de la vulnerabilidad ante las seudociencias y a la toma de decisiones poco informadas en la vida profesional y social. Un ciudadano con un buen nivel de competencia matemática es consciente de la rapidez con que se producen los cambios y de la necesidad de estar abierto a un proceso de aprendizaje que se prolongará a lo largo de toda la vida. Ser capaz de adaptarse a estos cambios de una manera creativa, flexible y práctica es una condición necesaria para ejercer la ciudadanía de una forma plena. Por desgracia, es poco probable que las habilidades aprendidas en la escuela basten para cubrir las necesidades de los ciudadanos durante la mayor parte de su vida adulta. Los requisitos para ejercer la ciudadanía de forma competente y reflexiva afectan igualmente a la mano de obra. Cada vez es más raro esperar que un trabajador se pase toda su vida laboral realizando un trabajo físico y repetitivo. Lo que se espera, más bien, es que participe activamente en el control de la producción de una gran diversidad de máquinas de tecnología punta, que sea capaz de manejar un enorme flujo de información y que participe en grupos encargados de la solución de problemas. La tendencia dominante apunta a que cada vez serán más los trabajos que requieran la capacidad de comprender, comunicar, utilizar y explicar conceptos y procedimientos basados en el pensamiento matemático. Los pasos del proceso de matematización son los componentes básicos de este tipo de pensamiento matemático. Por último, un ciudadano competente en matemáticas acabará por desarrollar asimismo un gusto por las matemáticas, en las que verá una disciplina dinámica, cambiante y relevante que con frecuencia le resultará útil para satisfacer sus necesidades. Desde un punto de vista práctico, el problema que se le plantea a PISA es determinar la forma de evaluar de los estudiantes de 15 años en función de su capacidad para llevar a cabo procesos de matematización. Por desgracia, las restricciones de tiempo que comporta la evaluación dificultan esta tarea, pues es innegable que, para las situaciones reales más complejas, el proceso que conduce de la realidad a las matemáticas y viceversa conlleva a menudo un trabajo cooperativo y de búsqueda de recursos que requiere un tiempo bastante considerable. Con objeto de ilustrar cómo funciona el proceso de matematización en un ejercicio de solución de problemas extenso, se incluye a continuación el ejemplo VACACIONES, que fue uno de los ejercicios del Estudio sobre Solución de Problemas PISA 2003. El problema plantea dos preguntas, y su objetivo es trazar una ruta y elegir una serie de lugares para pasar la noche durante un viaje de vacaciones. Para ello, los alumnos contaban con un mapa simplificado y con un gráfico (de representaciones múltiples) en el que se mostraban las distancias entre las ciudades recogidas en el mapa.

PISA.
ORGANIZACIÓN DEL ÁREA DE EVALUACIÓN
El marco de evaluación para las matemáticas de PISA proporciona los fundamentos y la descripción de una evaluación cuyo objetivo es determinar en qué medida los alumnos de 15 años están preparados para hacer un uso bien fundado de las matemáticas a la hora de hacer frente a los problemas que plantea el mundo real, o, dicho en términos más generales, una evaluación del nivel de competencia matemática de los alumnos de 15 años. Para describir con mayor claridad el área objeto de la evaluación, convendrá distinguir tres elementos:

• Las situaciones o contextos en que se sitúan los problemas. • El contenido matemático del que hay que valerse para resolver los problemas, que se organiza de acuerdo con ciertas ideas clave.

• Las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el mundo real donde se generan los problemas y las matemáticas, para de esa forma poder resolver los problemas. Estos elementos aparecen representados visualmente en la Figura 3.1. A esta representación gráfica sigue una explicación de cada uno de los elementos.
El nivel de competencia matemática de una persona se aprecia en la manera en que emplea sus conocimientos y habilidades matemáticas para resolver problemas. Dentro de la experiencia personal de cada individuo, los problemas (y su solución) pueden presentarse en una gran variedad de situaciones o contextos. Los problemas elaborados por PISA se extraen del mundo real de dos maneras distintas. En primer lugar, los problemas se dan en situaciones genéricas que son relevantes para la vida del alumno. Estas situaciones forman parte del mundo real y se indican mediante el recuadro grande que figura en la parte superior izquierda del gráfico. En segundo lugar, dentro de cada situación, los problemas poseen un contexto más específico. Dicho contexto se representa mediante el rectángulo gris inserto en el recuadro de la situación. En los anteriores ejemplos, FRECUENCIA CARDÍACA y VACACIONES, la situación sería el mundo real personal, mientras que los contextos serían, por un lado, diversos aspectos relacionados con el deporte y la salud del ciudadano activo y, por otro, la manera de organizar unas vacaciones. El siguiente elemento del mundo real que ha de tomarse en consideración con referencia a es el contenido matemático al que ha de recurrir una persona a la hora de resolver un problema. El contenido matemático puede ilustrarse mediante cuatro categorías que engloban los distintos tipos de problemas que surgen de la interacción con los fenómenos de la vida cotidiana y que se basan en una determinada concepción sobre la manera en que los contenidos matemáticos se presentan a las personas. A efectos de la evaluación PISA, estas categorías, que reciben el nombre de ideas clave, son las siguientes: espacio y forma, cambio y relaciones, cantidad e incertidumbre. Se trata de un enfoque del contenido matemático que puede no resultar demasiado familiar si se contempla desde la perspectiva de la enseñanza de las matemáticas y de las tendencias curriculares que suelen seguir los centros educativos. Sin embargo, en su conjunto, las ideas clave engloban en toda su amplitud los temas matemáticos que se espera que aprendan los estudiantes. En la Figura 3.1 las ideas clave aparecen representadas en la parte superior derecha del diagrama. A partir de ellas, se extraen los contenidos que se utilizan para resolver un problema. Por su parte, el contenido está representado en el recuadro más pequeño que se encuentra inserto en el recuadro de las ideas clave. Las flechas que enlazan los recuadros del contexto y el contenido con el del problema muestran el modo en que el mundo real (incluidas las matemáticas) conforma un problema. El problema de la FRECUENCIA CARDÍACA conlleva una serie de relaciones matemáticas, así como la comparación de dos relaciones, con objeto de adoptar determinadas decisiones. El problema, por tanto, se encuadra dentro de la idea clave cambio y relaciones. El problema de las VACACIONES, por su parte, requiere la realización de una serie de cálculos sencillos, si bien para resolver su segunda pregunta habrá que recurrir a un razonamiento analítico. En razón de ello, la idea clave más apropiada será la de cantidad. Para referirse a los procesos matemáticos que aplican los alumnos al tratar de resolver problemas se emplea el término capacidades matemáticas. Tres grupos de capacidades condensan los distintos procesos cognitivos necesarios para resolver los diversos tipos de problema. Estos grupos, que reflejan la forma en que suelen emplearse los procesos matemáticos al tratar de resolver los problemas a los que tienen que hacer frente los alumnos en su interrelación con el mundo, serán descritos con más detalle en ulteriores apartados. El ámbito de los procesos de este marco aparece representado primero en el cuadrado grande, donde figuran las capacidades matemáticas generales, y luego en el cuadrado más pequeño, que representa los tres grupos de capacidades. Las capacidades específicas que requiere la solución de un problema dependerán de la naturaleza del problema y se verán reflejadas en la solución que se dé al mismo. Esta interacción se representa mediante una flecha que va desde los grupos de capacidad al problema y su solución. La flecha restante va desde los grupos de capacidad al formato del problema, indicando que las capacidades empleadas en resolver el problema están relacionadas con la forma que adopta el problema y con las exigencias concretas que plantea. Es importante recalcar que los tres elementos que se acaban de describir difieren en su naturaleza. Las capacidades, de hecho, constituyen el núcleo mismo del concepto de competencia matemática. Solo los estudiantes que dispongan de ciertas capacidades se encontrarán en condiciones de resolver con éxito los problemas que se les planteen. Evaluar supone, por tanto, determinar hasta qué punto poseen los alumnos una serie de capacidades matemáticas concretas que puedan aplicar de forma productiva a aquellas situaciones que llevan implícito un problema. En los apartados siguientes se describen con más detalle estos tres elementos.

SITUACIONES Y CONTEXTO
Un aspecto importante de lo constituye el compromiso con las matemáticas, esto es, la disposición a ejercitar y utilizar las matemáticas en una gran variedad de situaciones. Es un hecho probado que, a la hora de enfrentarse a un problema susceptible de ser abordado matemáticamente, la elección de los métodos y los sistemas de representación matemáticos depende con bastante frecuencia de las situaciones en que se presenta el problema. La situación es la parte del mundo del estudiante en la que se localizan las tareas que se le plantean. Para PISA, la situación más cercana al alumno es su propia vida personal. Vendrían luego la vida escolar, laboral y el ámbito del ocio, y a continuación la comunidad local y la sociedad, tal como se presentan en la vida cotidiana del estudiante. Las situaciones científicas, por el contrario, se encontrarían bastante más alejadas. En los problemas que se planteen se definirán y utilizarán cuatro tipos de situación: personal, educacional/profesional, pública y científica. El contexto de un ejercicio es el marco específico que se halla presente en una determinada situación. A él pertenecen todos los elementos pormenorizados que se utilizan para formular el problema. Considérese el siguiente ejemplo: Ejemplo 3 de Matemáticas: CUENTA DE AHORRO
Se ha realizado un ingreso de 1.000 zeds en una cuenta de ahorro de un banco. La cuenta ofrece dos opciones: obtener un interés anual del 4 % u obtener de forma inmediata una prima de 10 zeds y un interés anual del 3 %.

Pregunta 1: CUENTA DE AHORRO ¿Cuál será la mejor opción al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?

La situación del ejercicio es banca y finanzas, una situación propia de la comunidad local y de la sociedad, que PISA clasificaría como pública. El contexto del ejercicio hace referencia al dinero (zeds) y a los tipos de interés de una cuenta bancaria.
Adviértase que se trata de un tipo de problema que podría formar parte de la experiencia o de la práctica del examinando en un marco de la vida real. Proporciona, pues, un contexto de utilización de las matemáticas auténtico, en la medida en que la aplicación de las matemáticas a este contexto estaría encaminada a la solución real de un problema. Un ejercicio de este tipo contrasta con los problemas que suelen figurar en los textos escolares de matemáticas, en los que se prima el empleo de las matemáticas que se están practicando en lugar de la utilización de las matemáticas para resolver un problema real. Esta autenticidad en el empleo de las matemáticas desempeña un papel importante a la hora de elaborar y analizar los ejercicios de PISA y se halla estrechamente vinculada con la definición del concepto de competencia matemática. Conviene señalar, no obstante, que la utilización del término «autentico» no implica que los ejercicios matemáticos sean verdaderos o reales en sentido estricto. El uso que hace PISA del término «auténtico» dentro del área de las matemáticas indica tan solo que las matemáticas se emplean para resolver verdaderamente el problema planteado, en lugar de considerarlo como un mero pretexto para poner en práctica determinados conocimientos matemáticos. Obsérvese, asimismo, que el ejercicio contiene algunos elementos inventados: por ejemplo, la moneda que se menciona es ficticia. La presencia de elementos ficticios responde al deseo de evitar que los alumnos de algunos países puedan disponer de algún tipo de ventaja. La situación y el contexto de un problema también pueden contemplarse en función de la proximidad o la lejanía que existe entre el problema y las matemáticas necesarias para su solución Si un ejercicio hace únicamente referencia a objetos, símbolos o estructuras matemáticas y no alude a cuestiones ajenas al universo matemático, se considerará que el contexto de dicho ejercicio es intramatemático y, por tanto, se clasificará dentro del tipo de situación científica. En el estudio PISA solo se incluirá un pequeño porcentaje de este tipo de ejercicios, en los que el estrecho vínculo que existe entre el problema y las matemáticas subyacentes se explicita en el contexto del problema. Por regla general, los problemas que los estudiantes encuentran en sus vidas cotidianas no suelen estar formulados en términos explícitamente matemáticos. Sus referencias son más bien los objetos del mundo real. En estos contextos de evaluación de carácter extramatemático, la tarea del alumno consiste precisamente en traducir los contextos de estos problemas a una formulación matemática. En términos generales, PISA presta especial atención a las tareas que pueden encontrarse en una situación del mundo real y que proporcionan un contexto auténtico para el uso de las matemáticas que influya en su solución y en su interpretación. Esto no significa, sin embargo, la exclusión de ejercicios cuyo contexto sea hipotético, siempre y cuando dicho contexto contenga elementos reales, no se aleje en exceso de una situación del mundo real y plantee un problema susceptible de ser solucionado de forma auténtica mediante el recurso a las matemáticas. El Ejemplo 4 es una muestra de un problema con un contexto hipotético de tipo extramatemático. Ejemplo 4 de Matemáticas: SISTEMA MONETARIO
Pregunta 1: SISTEMA MONETARIO ¿Sería posible establecer un sistema monetario basado exclusivamente en los valores 3 y 5? Concretamente, ¿qué cantidades podrían obtenerse partiendo de esa base? ¿Resultaría conveniente un sistema de esas características?

El valor de este problema no se deriva de su proximidad con el mundo real, sino del hecho de que sea interesante desde el punto de vista matemático y ponga en juego algunas de las capacidades que integran el concepto de competencia matemática. El empleo de las matemáticas para explicar escenarios hipotéticos y explorar sistemas o situaciones potenciales, aun cuando difícilmente vayan a ponerse en práctica en la realidad, constituye uno de los rasgos más poderosos de la disciplina. Un problema como este quedaría clasificado dentro del tipo de situación científica. En resumen, PISA concede más valor a aquellas tareas que pueden encontrarse en diferentes situaciones del mundo real y que poseen un contexto en el que el recurso a las matemáticas para resolver el problema planteado sería auténtico. La preferencia por los problemas con un contexto extramatemático que influye en su solución e interpretación como instrumento de la evaluación de viene motivada por el hecho de que son precisamente este tipo de problemas lo que se encuentran con más frecuencia en la vida cotidiana.

EL CONTENIDO MATEMÁTICO: LAS CUATRO IDEAS CLAVE
Hoy día son muchos los que ven las matemáticas como una ciencia de las regularidades en un sentido general. Las ideas clave elegidas por este marco de evaluación reflejan ese punto de vista: las regularidades en los ámbitos del espacio y la forma, el cambio y las relaciones y la cantidad serían conceptos esenciales de cualquier descripción de las matemáticas y formarían parte del núcleo de cualquier currículo en todos los niveles educativos. Pero ser competente en matemáticas significa algo más. Es esencial asimismo abordar el campo de la incertidumbre desde una perspectiva matemática y científica. De ese modo, los elementos integrantes de la teoría de la probabilidad y la estadística dan lugar a la cuarta idea clave: la incertidumbre. La lista de ideas clave que figura a continuación es utilizada por el estudio PISA 2006 con objeto de cumplir los requisitos de reflejar el desarrollo histórico, cubrir el área de contenido y recoger las líneas maestras de los currículos escolares.

• Espacio y forma • Cambio y relaciones • Cantidad • Incertidumbre
Por medio de estas cuatro ideas, el contenido matemático queda organizado en un número de áreas lo bastante amplio como para garantizar que los ejercicios de la prueba cubren el currículo en su conjunto, pero a su vez lo bastante reducido para evitar que una división excesivamente meticulosa pudiera obrar en contra del propósito de centrar el estudio en problemas basados en situaciones reales. Básicamente, la noción de idea clave hace referencia a un conjunto de fenómenos y conceptos dotados de sentido y susceptibles de hallarse presentes en una multiplicidad de situaciones diversas. Por su propia naturaleza, cada una de estas ideas clave puede percibirse como una suerte de noción que se ocupa de una dimensión de contenido generalizada. Esto implica que no es posible deslindar unas ideas clave de otras de forma precisa, del mismo modo que tampoco pueden deslindarse las áreas de contenido de las matemáticas tradicionales. Habría que considerar, más bien, que cada una de ellas ofrece una determinada perspectiva o punto de vista, del que se puede decir que posee un núcleo –una especie de centro de gravedad– y unos límites un tanto imprecisos que permiten que se produzcan intersecciones con otras ideas clave. En principio, cualquier idea clave puede solaparse con otra idea clave. En los apartados que siguen se ofrece una descripción de las cuatro ideas clave.
En todas partes se pueden encontrar regularidades: en el habla, la música, el vídeo, el tráfico, las estructuras de los edificios, el arte, etc. También las formas pueden verse como ejemplos de regularidades: las casas, los edificios de oficinas, los puentes, las estrellas de mar, los copos de nieve, los planos de las ciudades, las hojas de trébol, los cristales, las sombras. Las regularidades geométricas pueden servir como modelos relativamente sencillos de muchos tipos de fenómenos, y su estudio no solo es posible, sino también deseable en todos los niveles educativos (Grünbaum, 1985). También es importante comprender las propiedades de los objetos y sus posiciones relativas. Los estudiantes deben ser conscientes de cómo vemos las cosas y por qué las vemos de una determinada manera, a la vez que aprenden a navegar por el espacio y a través de las estructuras y las formas. Para ello se ha de comprender la relación que existe entre las formas y las imágenes o representaciones visuales, por ejemplo, la relación que existe entre una ciudad real y las fotografías o los mapas de esa misma ciudad. Supone asimismo comprender cómo se pueden representar en dos dimensiones los objetos tridimensionales, la manera en que se forman y deben interpretar las sombras y qué es la perspectiva y cómo funciona. La forma es un ámbito matemático que posee un vínculo muy estrecho con la geometría tradicional, pero va mucho más allá que esta en contenido, significado y métodos. Interaccionar con las formas reales implica comprender el mundo visual que nos rodea, ser capaz de describirlo y saber codificar y descodificar información visual. Asimismo, comporta la interpretación de esa información visual. Para captar el concepto de forma, los alumnos tienen que descubrir el modo en que los objetos se asemejan o se diferencian entre sí, analizar los distintos componentes de un objeto y reconocer formas que se presenten en distintas dimensiones y representaciones. Es importante no restringir el concepto de forma al de unas entidades estáticas. La forma, como entidad, puede transformarse, del mismo modo que las formas se modifican. En ocasiones, este tipo de cambios pueden visualizarse con gran elegancia mediante tecnologías informáticas. Los alumnos deberán ser capaces de identificar pautas y regularidades en el cambio de las formas. Un ejemplo de ello puede verse en la Figura 3.2 del apartado siguiente. El estudio de la forma y las estructuras requiere la búsqueda de similitudes y diferencias cuando se analizan los componentes de las formas, así como la capacidad de reconocerlas en diferentes representaciones y dimensiones. El estudio de las formas se encuentra estrechamente ligado al concepto de la «comprensión del espacio». (Freudenthal, 1973). Los ejemplos que requieren este tipo de pensamiento son muy abundantes. Identificar y relacionar una fotografía de una ciudad con un plano de esa misma ciudad e indicar desde qué punto fue tomada la fotografía; la capacidad de trazar un plano; comprender por qué un edificio cercano se ve más grande que un edificio que se encuentra más alejado; comprender por qué las vías del ferrocarril parecen juntarse en el horizonte: todas estas son cuestiones importantes para los estudiantes dentro del ámbito de esta idea clave. Dado que los alumnos viven en un entorno tridimensional, deberían estar familiarizados con la visión de los objetos desde tres perspectivas ortogonales (por ejemplo, de frente, de lado y desde arriba). Del mismo modo, deberían ser conscientes del alcance y las limitaciones de los distintos tipos de representación de las formas tridimensionales, tal y como se muestra más adelante en el ejemplo de la Figura 3.3. No solo tienen que comprender la posición relativa de los objetos, sino que deben ser capaces de moverse a través del espacio y a través de las construcciones y las formas. Un ejemplo de ello consistiría en leer e interpretar un mapa y elaborar las instrucciones para desplazarse desde un punto A a un punto B mediante unas coordenadas, el lenguaje común o un dibujo. La comprensión conceptual de las formas incluye asimismo la capacidad de tomar un objeto tridimensional y plasmarlo en un plano bidimensional, y viceversa, aun cuando dicho objeto tridimensional se presente en dos dimensiones. La Figura 3.4 sería un ejemplo de ello. A modo de resumen, la siguiente lista recoge los principales aspectos de la idea clave espacio y forma:

• Reconocer formas y patrones. • Describir, codificar y descodificar información visual. • Comprender los cambios dinámicos de las formas. • Similitudes y diferencias. • Posiciones relativas. • Representaciones bidimensionales y tridimensionales y relaciones entre ambas. • Orientación en el espacio.

Puede resultar una sorpresa para muchos –tanto alumnos como profesores– que el número máximo de cubos sea 20 y el mínimo 6 (de Lange, 1995). El siguiente ejemplo muestra una representación bidimensional de un granero y un esquema incompleto del mismo. El problema consiste en completar el esquema del granero.
Figura 3.4 • Representación bidimensional de un granero tridimensional y de su esquema (incompleto)

Un último ejemplo, similar al anterior, se muestra en la Figura 3.5 (adaptado de Hershkovitz et al., 1996).
Figura 3.5 • Cubo con base negra

En la imagen del cubo, su mitad inferior aparece pintada de negro.Y, para cada uno de los esquemas, se ha pintado de negro la cara que forma la base del cubo. A los alumnos se les podría pedir que completaran cada esquema sombreando los cuadrados pertinentes.
Cambio y relaciones

Todo fenómeno natural es una manifestación del cambio, y el mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de relaciones temporales o permanentes entre sus diversos fenómenos. Ejemplos de ello son los cambios que experimentan los organismos al crecer, el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las mareas, los ciclos del desempleo, los cambios de tiempo y los índices de la bolsa. Algunos de estos procesos de cambio llevan implícita una serie de funciones matemáticas sencillas que pueden utilizarse para describirlos o modelarlos: funciones lineares, exponenciales, periódicas o logísticas, tanto discretas como continuas. No obstante, son muchas las relaciones que pertenecen a otras categorías, y a menudo resulta esencial llevar a cabo un análisis de los datos para determinar el tipo de relación presente. Con bastante frecuencia, las relaciones matemáticas adoptan la forma de ecuaciones o desigualdades, lo cual no quita para que también puedan darse otras relaciones de carácter más general (como la equivalencia, la divisibilidad o la integración, por mencionar algunas). Según Stewart (1990), la sensibilización a los patrones del cambio requiere:

• Representar cambios de una forma comprensible. • Comprender los tipos de cambio fundamentales. • Reconocer tipos concretos de cambio cuando estos se produzcan. • Aplicar estas técnicas al mundo exterior. • Controlar un universo cambiante para que redunde en nuestro beneficio.
El cambio y las relaciones se pueden representar visualmente de muy diversas maneras: numéricamente (por ejemplo, en una tabla), simbólicamente o gráficamente. Pasar de un tipo de representación a otra tiene una importancia capital, como también la tiene reconocer y comprender las relaciones y los tipos de cambio fundamentales. Los alumnos deben estar al tanto de conceptos como crecimiento lineal (proceso aditivo), crecimiento exponencial (proceso multiplicativo), crecimiento periódico, e incluso crecimiento logístico, aunque solo sea de manera informal, entendido como un caso particular del crecimiento exponencial. Los alumnos también deben ser capaces de reconocer las relaciones entre estos modelos: las diferencias fundamentales entre procesos lineales y exponenciales, el hecho de que el crecimiento porcentual sea idéntico al crecimiento exponencial y cómo, y por qué razones, se produce el crecimiento logístico tanto en situaciones continuas como discontinuas. Los cambios se producen dentro de un sistema de objetos o fenómenos interrelacionados en el que los elementos influyen unos en otros. En los ejemplos que se recogen en el sumario, todos los fenómenos experimentan cambios en el tiempo. Sin embargo, en la vida real, los objetos pueden interrelacionarse de muy diversas maneras. Por ejemplo:
Si se divide en dos la longitud de la cuerda de una guitarra, se obtendrá una tonalidad nueva que será una octava más alta que la tonalidad anterior. Por tanto, la tonalidad depende de la longitud de la cuerda. Cuando ingresamos dinero en una cuenta corriente sabemos que el saldo dependerá tanto de la magnitud, la frecuencia y el número de ingresos y retiradas de dinero, como del tipo de interés.

El concepto de relación conduce al de dependencia. La dependencia hace referencia al hecho de que las propiedades y los cambios de determinados objetos matemáticos pueden tener una relación de dependencia o ejercer una influencia sobre las propiedades y los cambios de otros objetos matemáticos. A menudo, las relaciones matemáticas adoptan la forma de una ecuación o una desigualdad, aunque tampoco es raro que se den otras relaciones de carácter más general. El cambio y las relaciones comportan el recurso al pensamiento funcional. El pensamiento funcional –es decir, la capacidad de pensar sobre y en términos de relaciones– constituye uno de los principales objetivos disciplinares de la enseñanza de las matemáticas (MAA, 1923). En relación con los alumnos de 15 años, esto supone que deben tener algunas nociones sobre la tasa de cambio, el gradiente y la pendiente (aunque no necesariamente de una manera formal) y las relaciones de dependencia entre unas y otras variables. Asimismo, deben tener la capacidad de emitir juicios sobre la velocidad a la que se producen los procesos, incluso en términos relativos.
Esta idea clave se halla estrechamente vinculada a diversos aspectos de algunas de las otras ideas clave. Un estudio de las regularidades numéricas puede conducir al descubrimiento de relaciones sorprendentes, como demuestran los estudios numéricos de Fibonacci o el caso de la proporción áurea. Este último concepto también desempeña un papel en el ámbito de la geometría. Dentro del campo del espacio y la forma se pueden encontrar muchos otros ejemplos vinculados con la idea de cambio y relaciones: el crecimiento de un área en relación con el crecimiento del perímetro o el diámetro sería uno de ellos. También la geometría euclidiana se presta al estudio de las relaciones. Un ejemplo bien conocido es la relación entre los lados de un triángulo. Si se conoce la longitud de dos de los lados, el tercero no estará determinado, aunque sí se conocerá el intervalo en que se encuentra: los extremos del intervalo vienen representados respectivamente por el valor absoluto de la diferencia entre los otros dos lados y su suma. Otras relaciones similares son bastante frecuentes entre los diversos elementos de los triángulos. También la incertidumbre se presta a plantear numerosos problemas que pueden contemplarse desde la perspectiva del cambio y las relaciones. Si se lanzan dos dados y en uno de ellos sale un cuatro, ¿qué posibilidad hay de que la suma de ambos sea superior a siete? La respuesta (50 %) se basa en la dependencia que tiene la probabilidad en cuestión respecto del conjunto de resultados favorables. La probabilidad requerida es el porcentaje de todos esos resultados comparado con todos los resultados posibles. Se trata, pues, de una dependencia funcional.

• Cálculo mental. • Estimaciones.
Dentro de la noción «significado de las operaciones» se incluye la capacidad de llevar a cabo operaciones que comporten realizar comparaciones, determinar proporciones y sacar porcentajes. El sentido numérico hace referencia a todo lo relacionado con el tamaño relativo, las diferentes representaciones de los números, las formas numéricas equivalentes y el empleo del conocimiento de estos aspectos para describir los atributos del mundo. El concepto de cantidad conlleva asimismo estar dotado de una sensibilidad hacia las cantidades y las estimaciones. Para poder evaluar hasta qué punto son razonables unos resultados numéricos concretos es necesario poseer un amplio conocimiento de las cantidades (medidas) del mundo real. ¿Cuál es la velocidad media de un coche, 5, 50 o 500 km/h? ¿Cuál es la población del mundo, 6, 600, 6.000 o 60.000 millones de personas? ¿Qué altura tiene una torre? ¿Qué anchura tiene un río? La capacidad de efectuar aproximaciones rápidas sobre el orden de magnitud de un determinado fenómeno es de vital importancia, sobre todo considerando que cada vez es más frecuente el recurso a herramientas electrónicas de cálculo. Una persona debe ser capaz de darse cuenta de que 33 x 613 arrojará un resultado cercano a 20.000. Para alcanzar esta habilidad, no hace falta ejercitarse intensamente en la ejecución mental del tipo de algoritmos que tradicionalmente se calculan por escrito; basta con un empleo hábil y flexible de la comprensión del valor posicional y de la aritmética de una sola cifra (Fey, 1990). Un uso adecuado de su sentido numérico permitirá a los estudiantes resolver problemas que requieran razonamientos directos, inversos y proporcionales. Asimismo, les permite calcular índices de variación y establecer criterios razonados para seleccionar datos y determinar el nivel de precisión necesario para las operaciones y modelos que emplean. Podrán también considerar algoritmos alternativos, demostrando por qué funcionan correctamente o en qué casos fallan. Podrán desarrollar modelos que comporten operaciones, o relaciones entre operaciones, con objeto de resolver problemas que contengan datos del mundo real y relaciones numéricas que requieran operaciones y comparaciones (Dossey, 1997). En la idea clave cantidad también hay un lugar para los razonamientos cuantitativos «elegantes», como el empleado por Gauss que figura en el ejemplo que viene a continuación. La creatividad asociada a la comprensión conceptual debe ser valorada en el nivel educativo de los alumnos de 15 años.

Este ejemplo de razonamiento cuantitativo con regularidades numéricas puede desarrollarse un poco más para demostrar su vinculación con una representación geométrica de dicha regularidad. Para ello utilizaremos la fórmula que recoge el planteamiento general del problema de Gauss: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 Esta fórmula reproduce un modelo geométrico bien conocido: los números que responden a la fórmula n (n + 1)/2 reciben el nombre de números triangulares, pues se corresponden exactamente con los números que se obtienen al formar con bolas un triángulo equilátero. Los cinco primeros números triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, se muestran en la Razonamiento proporcional

Resultará interesante comprobar la forma en que los alumnos de los distintos países resuelven aquellos problemas que se prestan a la utilización de diversas estrategias. En este sentido, cabe esperar que las diferencias más apreciables se den en el ámbito del razonamiento proporcional. Lo más probable es que en algunos países se emplee una sola estrategia para cada problema, mientras que en otros se empleen varias. Igualmente cabe esperar la aparición de similitudes de razonamiento al resolver problemas que aparentemente no son demasiado similares. Estas observaciones concuerdan con los resultados obtenidos recientemente por la investigación de datos TIMSS (Mithchell, J. et al., 2000). Las tres preguntas siguientes ilustran las diversas estrategias que pueden adoptarse y las relaciones existentes entre ellas:
1. 2. Esta noche das una fiesta. Quieres comprar 100 latas de refrescos. ¿Cuántos paquetes de seis latas vas a comprar? Un ala delta con un índice de descenso de 1 m por cada 22 m inicia su vuelo desde un precipicio de 120 metros de altura. El piloto quiere llegar a un punto situado a una distancia de 1.400 metros. ¿Logrará llegar a ese punto (en ausencia de viento)? Un colegio quiere alquilar unos microbuses (con asientos para ocho pasajeros) para llevar a 98 alumnos a un campamento escolar. ¿Cuántos microbuses se necesitarán?
Autobuses:

Percibir esta similitud es una habilidad propia de : los alumnos dotados de competencia matemática no necesitan buscar una única herramienta o algoritmo adecuado, sino que disponen de toda una gama donde elegir. Ejemplo 9 de Matemáticas: PORCENTAJES
Carlos fue a una tienda a comprar una chaqueta cuyo precio habitual era 50 zeds, pero que ahora se vendía con un 20 % de descuento. En Zedlandia existe un impuesto sobre las ventas del 5 %. El dependiente añadió primero el impuesto del 5 % al precio de la chaqueta y luego descontó un 20 %. Carlos se quejó: quería que el dependiente dedujera primero el 20 % y luego añadiera el impuesto del 5 %.

Pregunta 1: PORCENTAJES ¿Supone esto alguna diferencia?

Los problemas que comportan un pensamiento cuantitativo de este tipo, así como la necesidad de llevar a cabo los consiguientes cálculos mentales, son bastante comunes en el contexto de las compras. La capacidad de abordar eficazmente estos problemas es un componente esencial de .
Incertidumbre

La ciencia y la tecnología rara vez se ocupan de las certidumbres. En realidad, el conocimiento científico casi nunca es absoluto, e incluso puede ser erróneo en ocasiones, por eso hasta en las predicciones más científicas existe siempre un umbral de incertidumbre. La incertidumbre también está presente en la vida diaria: resultados inciertos de unas elecciones, puentes que se derrumban, caídas de la bolsa de valores, pronósticos del tiempo poco fiables, predicciones erróneas del crecimiento de la población o modelos económicos que no cuadran. La idea clave incertidumbre alude a dos temas relacionados: los datos y el azar. Estos dos fenómenos son respectivamente el objeto de los estudios matemáticos de la estadística y del cálculo de probabilidades. Desde hace relativamente poco, las recomendaciones relativas a los currículos escolares señalan de manera unánime la necesidad de conferir a la estadística y al cálculo de probabilidades un relieve mucho mayor del que habían gozado en el pasado (Comisión para la Investigación de la Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM, 2000). Los conceptos y las operaciones matemáticas que tienen importancia en este ámbito son la recogida de datos, el análisis y la exposición/visualización de datos, el cálculo de probabilidades y la inferencia.
Las recomendaciones relativas al lugar que deben ocupar los datos, la estadística y la probabilidad en los currículos escolares suelen poner el énfasis en el análisis de datos. No es de extrañar, por tanto, que a menudo se considere la estadística como un mero conjunto de habilidades específicas. Ha sido David S. Moore quien ha mostrado de qué se ocupa en realidad la idea clave incertidumbre. La definición de PISA sigue sus ideas, tal como quedaron recogidas en On the Shoulder of Giants (Steen, 1990) [Sobre hombros de gigantes], así como las expresadas por F. James Rutheford, en su obra Why Numbers Count (Por qué son importantes los números) (Steen, 1997). La aportación de la estadística a la formación matemática tiene un carácter único y de gran importancia, pues abre la posibilidad de razonar partiendo de datos empíricos inciertos. Este tipo de pensamiento estadístico debería formar parte del bagaje intelectual de todo ciudadano inteligente. Sus elementos clave serían los siguientes:

• La omnipresencia de la variación en los procesos. • La necesidad de contar con datos sobre los procesos. • El diseño de la elaboración de datos teniendo en mente la variación. • La cuantificación de la variación. • La explicación de la variación.
Los datos no son simples números, son números en un contexto. Los datos se obtienen mediante medición y se representan por un número. Pensar sobre mediciones conduce a una percepción madura de por qué unos números son informativos y otros irrelevantes o carentes de sentido. El diseño de estudios de muestreo es un aspecto fundamental de la estadística. El análisis de datos pone especial énfasis en la comprensión de los datos disponibles, asumiendo que representan un universo más amplio. En este sentido, un concepto como el de muestras simples aleatorias es esencial para que los alumnos de 15 años puedan comprender las cuestiones relacionadas con el campo de la incertidumbre. Los fenómenos producen resultados individuales inciertos y, con frecuencia, los patrones a los que se ajusta un resultado reiterado tienen un carácter aleatorio. En el presente estudio de PISA, el concepto de probabilidad se basará en situaciones en las que intervengan objetos relacionados con el azar, como es el caso de las monedas, los dados y los trompos, o con situaciones del mundo real, no excesivamente complejas, que sean susceptibles de ser analizadas intuitivamente o que puedan modelarse fácilmente con esos objetos. El ámbito de la incertidumbre se presenta también recurriendo a otras fuentes, como pueden ser la variación natural de las estaturas de los estudiantes, la lectura de puntuaciones, los ingresos de un determinado grupo de personas, etc. Un paso de gran importancia, incluso para los alumnos de 15 años, consiste en ver el estudio de los datos y el azar como un todo coherente. Uno de sus principios sería la progresión de ideas que va desde el mero análisis de datos a la producción de datos para llegar finalmente a la probabilidad y la inferencia. Las operaciones y conceptos matemáticos de mayor importancia en este ámbito son:

• La producción de datos. • El análisis de datos y su presentación/visualización. • La probabilidad. • La inferencia.
Ejemplos de Incertidumbre

Los ejemplos que vienen a continuación ilustran la idea clave incertidumbre. Ejemplo 10 de Matemáticas: MEDIA DE EDAD
Pregunta 1: MEDIA DE EDAD Si el 40 % de la población de un país tiene al menos 60 años, ¿es posible que la media de edad sea de 30 años?

MATEMÁTICOS Matematización
La evaluación PISA estudia la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicar ideas matemáticas de forma efectiva al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en distintas situaciones. La solución de problemas requiere que los alumnos hagan uso de las habilidades y competencias que han adquirido a lo largo de su escolarización y a través de sus propias experiencias vitales. En la evaluación PISA ese proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver los problemas que plantea la vida real se denomina matematización. En el apartado que se ocupaba de las bases teóricas del marco PISA de evaluación de las matemáticas se esbozaba una descripción de las matemáticas en cinco pasos. En la Figura 3.8 se recogen esos pasos, que aparecen luego en forma de lista.
Pregunta 1: INCREMENTO DE LA CRIMINALIDAD
• Se inicia con un problema situado en la realidad. • Se organiza de acuerdo con conceptos matemáticos y se identifican las matemáticas relevantes al caso.

• El problema se va abstrayendo progresivamente de la realidad mediante una serie de procesos, como la elaboración de supuestos, la generalización y la formalización, mediante los cuales se destacan los rasgos matemáticos de la situación y se transforma el problema del mundo real en un problema matemático que reproduce de manera fiel la situación.

• Se resuelve el problema matemático. • Se confiere sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se identifican las posibles limitaciones de la solución. La matematización comporta, en primer lugar, la traducción del problema real a términos matemáticos. Este proceso incluye diversas operaciones, como por ejemplo:

• Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema situado en la realidad. • Representar el problema de una manera distinta; lo cual comporta, entre otras cosas, organizarlo de acuerdo con los conceptos matemáticos pertinentes y plantear los supuestos adecuados al caso.

• Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje formal y simbólico que se necesita para comprenderlo en términos matemáticos.

• Encontrar regularidades, relaciones y patrones. • Reconocer los aspectos que son isomórficos respecto de otros problemas conocidos. • Traducir el problema a términos matemáticos, es decir, a un modelo matemático (de Lange, 1987).
Una vez que el alumno ha traducido el problema a una forma matemática, el proceso puede continuarse ya dentro de un ámbito estrictamente matemático. Los alumnos se plantearán preguntas del tipo: «¿Hay...?» «En tal caso, ¿cuántos?» o «¿Cómo puedo hallar...?», recurriendo a las habilidades y conceptos matemáticos de que dispone. Tratarán de desarrollar el modelo del problema, adaptarlo, establecer regularidades, identificar conexiones y crear una buena argumentación matemática. Esta parte del proceso de matematización suele conocerse como la parte deductiva del ciclo de construcción de modelos (Blum, 1996; Schupp, 1988). Conviene señalar, no obstante, que en esta fase pueden intervenir también otros procesos aparte del deductivo. Esta parte del proceso de matematización comporta:

• Utilizar diferentes tipos de representación e ir alternando entre ellos. • Utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. • Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación e integración de
modelos.

• Argumentar. • Generalizar.
El último, o los últimos pasos, que han de darse para resolver el problema implican una reflexión sobre el proceso en su conjunto y sobre los resultados obtenidos. Llegados a este punto, los alumnos deben interpretar los resultados con espíritu crítico y validar la totalidad del proceso. Esta reflexión se da en todas las fases del proceso, pero tiene especial importancia en esta fase final. Algunos de los aspectos de este proceso de reflexión y validación son:

• La comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos. • La reflexión sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y justificación de los resultados obtenidos. • La comunicación del proceso y la solución. • La crítica del modelo y de sus límites. Esta fase aparece indicada en dos puntos de la Figura 3.8 mediante la referencia «5», que señala el momento del proceso de matematización en que se pasa de la solución matemática a la solución real y el momento en que esta última se relaciona de nuevo con el problema del mundo real.
Las capacidades

El anterior apartado se centraba en los principales conceptos y procesos asociados a la matematización. Un individuo que tenga que emplear de forma satisfactoria la matematización dentro de una gran variedad de situaciones y contextos, intra y extramatemáticos, así como en el ámbito de las ideas clave, necesita poseer una serie de capacidades matemáticas que, tomadas en su conjunto, conforman el concepto superior de competencia matemática. Cada una de estas capacidades puede dominarse en mayor o menor grado. Las distintas fases del proceso de matematización recurren a estas capacidades de un modo diferente, tanto en lo que respecta a las capacidades específicas que han de usarse como al nivel de dominio requerido. Para identificar y analizar estas capacidades, PISA ha optado por recurrir a ocho capacidades matemáticas características que, en su forma actual, se basan en la obra de Niss (1999) y de sus colegas daneses. También pueden encontrarse formulaciones similares en las obras de otros muchos autores (como se señala en Neubrand et al., 2001). Convendrá señalar, sin embargo, que no todos los autores coinciden en las acepciones que dan a algunos de estos términos.

• Pensamiento y razonamiento. Consiste en plantear preguntas características de las matemáticas
(«¿Hay...?», «En tal caso, ¿cuántos...?», «¿Cómo puedo hallar...?»); conocer los tipos de respuesta que las matemáticas ofrecen a esas preguntas; distinguir entre distintos tipos de asertos (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, afirmaciones condicionales); y comprender y saber manejar el alcance y los límites de los conceptos matemáticos que hagan al caso. • Argumentación. Comporta entender en qué consisten las pruebas matemáticas y qué las diferencia de otro tipo de razonamientos matemáticos; seguir y evaluar cadenas de argumentaciones matemáticas de distintos tipos; tener un sentido heurístico («¿Qué puede o no puede suceder y por qué?»), así como crear y expresar argumentaciones matemáticas. • Comunicación. Consiste en la capacidad de expresarse de muy diversas maneras sobre temas de contenido matemático, tanto de forma oral como escrita, así como comprender las afirmaciones orales o escritas expresadas por otras personas sobre esas mismas materias. • Construcción de modelos. Comporta estructurar el campo o la situación para la que se ha de elaborar un modelo; traducir la realidad a estructuras matemáticas; interpretar modelos matemáticos en función de la realidad; trabajar con modelos matemáticos; validar un modelo; reflexionar, analizar y criticar un modelo y sus resultados; comunicar opiniones sobre el modelo y sus resultados (incluyendo las propias limitaciones de tales resultados); y supervisar y controlar el proceso de construcción de modelos matemáticos.
• Planteamiento y solución de problemas. Consiste en plantear, formular y definir distintos tipos de problemas matemáticos (por ejemplo, problemas «puros», «aplicados», «abiertos» y «cerrados»), así como la capacidad de resolver diversos tipos de problemas matemáticos de distintas maneras.

• Representación. Comporta la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticos; las interrelaciones que existen entre las diversas representaciones; y la elección y alternancia entre distintos tipos de representación según las situaciones y objetivos.

• Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico. Comporta descodificar e interpretar
el lenguaje formal y simbólico; comprender sus relaciones con el lenguaje natural; traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico/formal; hacer uso de expresiones y asertos que contengan símbolos y fórmulas; emplear variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos.

• Empleo de material y herramientas de apoyo. Comporta conocer y saber emplear toda una serie de materiales y herramientas de apoyo (incluidas las herramientas de las tecnologías informáticas) que pueden contribuir a la realización de la actividad matemática, así como conocer las limitaciones de dichos materiales y herramientas. PISA no evalúa las capacidades antes mencionadas de forma individual. El grado de solapamiento que se da entre ellas es muy considerable y, por regla general, cuando se emplean las matemáticas es necesario recurrir de forma simultánea a varias de estas capacidades. Por esa razón, cualquier intento de evaluarlas de manera individual probablemente daría lugar a unas tareas artificiales y a una compartimentación innecesaria del ámbito de . Las capacidades específicas de las que disponen los alumnos varían considerablemente entre uno y otro individuo. Esto se debe, en parte, a que todo proceso de aprendizaje tiene lugar a través de la experiencia: «la construcción individual del conocimiento es el resultado de un proceso de interacción, negociación y colaboración» (de Corte, Greer y Verschaffel, 1996, pag. 510). PISA presupone que la mayor parte de las matemáticas que saben los estudiantes la han aprendido en la escuela. La comprensión de un área de contenido es algo que se adquiere de forma gradual. Solo con el paso del tiempo irán surgiendo formas de representación y razonamiento más formales y abstractas, como consecuencia de la participación en actividades diseñadas para fomentar la evolución de las ideas informales. También se adquiere a través de la experiencia que se obtiene al interactuar en una gran diversidad de situaciones o contextos sociales. Para poder describir y presentar desde una perspectiva internacional y de la manera más fructífera posible las capacidades de los estudiantes, así como sus puntos fuertes y débiles, será necesario adoptar cierto tipo de estructura. Una de las formas de lograrlo de una manera que resulte manejable y comprensible a la vez, consiste en definir una serie de grupos de capacidades basados en el tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos tipos de problemas matemáticos.

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